Si può accordare un pianoforte?

Può sembrare una domanda banale, ma è invece uno di quegli esempi in cui un matematico, anziché trovare una soluzione ad un problema, dimostra che la soluzione non esiste: purtroppo, un pianoforte non sarà mai perfettamente accordato, ma bisognerà sempre giungere a dei compromessi…
Vediamo perché!

Partiamo introducendo il concetto di intervallo musicale [1]: ogni volta che confrontiamo due note, queste generano un intervallo (che possiamo pensare come una distanza tra loro due).

Ad esempio, l’intervallo tra una nota e la sua ottava più alta (ovvero la stessa nota ma più acuta) è un intervallo di ottava, l’intervallo tra Do e Mi è detto intervallo di terza maggiore, e così via.

Ogni intervallo è determinato unicamente da quanti semitoni ci sono tra di loro. Ad esempio, tra Re e Mi ci sono due semitoni (ovvero un tono) di differenza (Re -> Re# -> Mi), così come tra Mi e Fa#. Diciamo quindi che il Mi è la seconda maggiore del Re, e il Fa# è la seconda maggiore del Mi.

Ma cosa c’entra tutto questo con l’accordatura del piano?
Non preoccupatevi, ci arriviamo (quasi) subito.

Un’altra definizione, identica, del concetto di intervallo può essere formulata parlando di frequenze [2]. Una nota non è altro che una vibrazione a frequenza costante, ad esempio, il La naturale è una frequenza a 440 Hz.

Quindi, possiamo definire gli intervalli guardando i rapporti tra due note. Ad esempio, un intervallo di quinta ha un rapporto di 3 a 2. Questo significa che se prendiamo la quinta del La, ovvero il Mi, avremo che il Mi ha una frequenza di 440Hz x 3/2 = 660Hz.

Tra un’ottava e l’altra, la frequenza raddoppia (è per questo che su una chitarra il dodicesimo tasto è esattamente a metà tra ponte e capotasto: dimezzando la lunghezza di una corda, questa vibra con frequenza doppia).

E qui iniziano i problemi. Immaginiamo di voler accordare un pianoforte usando intervalli di terza, quindi:

  Do -> Mi -> Sol# -> Do

Facendo in questo modo, tuttavia, otteniamo che l’ultimo Do non è un’ottava esatta rispetto al primo: applicando tre intervalli di terza la frequenza viene moltiplicata per 5/4 tre volte, quindi

che non è 2.

Un modo alternativo potrebbe essere usando sei seconde maggiori, ma in questo caso otterremmo

  Oppure potremmo pensare di usare dodici seconde minori:

Possiamo provare quanto vogliamo, ma non riusciremo mai. Questo a causa di un corollario (come noi matematici chiamiamo i risultati conseguenti) al teorema delle radici razionali [3]: per questo non possiamo trovare nessun numero razionale che soddisfi la nostra necessità.

Per arginare questo problema si è deciso di utilizzare un metodo di accordatura chiamata temperamento equabile [4], [5] in cui ogni nota ha la frequenza pari a 12√ 2 quella precedente. In questo modo, Il rapporto di 2 a 1 tra ottave è mantenuto, ma si introducono errori tra tutti gli altri intervalli. Ad esempio, una terza maggiore sarà leggermente crescente

  mentre le quinte saranno leggermente calanti

Quindi, c’è una cosa che accomuna tutti gli ascoltatori di musica: non importa che ascoltiate pop, jazz, djent o swing…
State comunque ascoltando qualcosa di stonato!

Michele Ginesi
Laureato in Matematica nel 2017 presso l’Università di Verona. Attualmente studente di Dottorato presso la stessa Università. Mi piace vedere l’aspetto matematico delle mie passioni, dalla musica alla giocoleria.

Fonti:
[1] INTERVALLI E ACCORDI;
[2] Scala naturale;
[3] Teorema delle radici razionali;
[4] Temperamento equabile;
[5] https://www.dirksprojects.nl/index.php?Lan=italian&Page=info/EqualTemperament.php.

Approfondimenti
[A] Una classi¯cazione formale degli intervalli musicali;
[B] Why It’s Impossible to Tune a Piano.

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