Prendete una mappa della zona dove siete (va benissimo anche una mappa dell’intero pianeta) o la planimetria della vostra casa. Ora riempite una tazza di caffè e mescolate.
Cos’hanno queste due cose in comune?
Un punto fisso, ovvero un qualcosa che non si è mosso: sulla vostra mappa c’è un punto che si trova esattamente sopra il punto che rappresenta nella realtà, e il vostro caffè non è perfettamente mescolato, almeno un punto è rimasto dov’era.
Vi chiederete come sia possibile.
Ebbene la risposta ce la dona Luitzen Brouwer tramite il suo teorema sul punto fisso.
Questo importantissimo risultato ci dice che
Sia A un insieme chiuso, limitato, e semplicemente connesso. Allora ogni funzione continua da A in sé stesso ammette un punto fisso.
Ok, ok rallentiamo. Abbiamo bisogno di recuperare un po’ di cose. Andiamo con ordine.
Per prima cosa, cosa significa che A sia chiuso, limitato e semplicemente connesso?
Limitato credo sia intuibile: non può estendersi all’infinito in nessuna direzione, quindi ad esempio un quadrato o un cerchio sono limitati, una retta no.
Chiuso significa che il “bordo” dell’insieme è parte dell’insieme stesso. Quindi se A è un segmento, i due estremi non possono essere esclusi, se invece è un quadrato, l’intero perimetro deve essere parte dell’insieme.
Semplicemente connesso è come i matematici dicono “senza buchi”: un cerchio è semplicemente connesso, una ciambella, invece, non lo è!
Ora, cosa significa funzione continua? Una funzione non è altro che un modo per dire che stiamo “modificando” qualcosa (nel nostro caso, gli elementi di A). Farlo in modo continuo significa che lo stiamo facendo senza “strappi” o “salti”.
Infine, un punto fisso è un elemento di A che resta dove si trova quando applichiamo la funzione.
Come si applica ai nostri esempi?
Partiamo dalla mappa. Se voi avete una mappa della vostra città, quella mappa è una funzione continua, poiché non c’è nessuno strappo o salto improvviso nella mappa: si tratta della vostra città riscalata in modo da potervi stare in tasca. Inoltre, la vostra città è sicuramente limitata (non ha area infinita) e chiusa (il perimetro della città è territorio della città in sé). Ora, a meno che non viviate a Roma e abbiate il Vaticano a “bucarvi” la città, possiamo anche pensare che il posto dove vivete non abbia buchi.
Quindi, la vostra mappa soddisfa tutte le ipotesi del nostro teorema.
Di conseguenza, la mappa ha un punto fisso, ovvero esiste (almeno) un punto sulla vostra cartina che si trova perfettamente sopra il punto che rappresenta nella città reale. E questo rimarrà vero anche se ruoterete, capovolgerete o addirittura stropiccerete la vostra mappa. Ma non strappatela, perché quella non sarebbe più una funzione continua!
Prendiamo ora la vostra tazza di caffè. E’ sicuramente limitata (se avete una tazza da caffè infinita fatemi sapere che sarei interessato) e senza buchi. E il volume occupato dal caffè comprende anche il “bordo”. Se mescolate senza agitare in modo turbolento nè rovesciate il caffè, state applicando una funzione continua. Quindi il teorema di Brouwer si applica, e il vostro gesto del “mescolare” ha un punto fisso. Questo significa che almeno un punto del vostro caffè è rimasto esattamente dov’era prima che lo mescolaste. Quindi, così come non potete accordare un pianoforte, la matematica ci insegna che non potete nemmeno mescolare perfettamente il caffè.
Bibliografia
- Starr, R. (2011). The Brouwer Fixed-Point Theorem. In General Equilibrium Theory: An Introduction (pp. 99-108). Cambridge: Cambridge University Press (link).
Michele Ginesi
Laureato in Matematica nel 2017 presso l’Università di Verona. Attualmente studente di Dottorato presso la stessa Università. Mi piace vedere l’aspetto matematico delle mie passioni, dalla musica alla giocoleria.
