Matematica di un’epidemia – parte 2
[di _freakwave_ da Pixabay]

Dopo l’introduzione agli strumenti matematici dello scorso articolo, veniamo ora al cuore del problema: la modellizzazione della trasmissione di un virus in una popolazione. Come vi avevo anticipato, il modello che andremo a vedere è il modello SIR.

Ora, studiare come si trasmette un virus utilizzando solo carta e penna può sembrare (ed è) complicato.

Quello che fa un matematico quando si trova di fronte a problemi così complessi è semplificare il più possibile, suddividendo il modello in parti più piccole che approssimano, più o meno bene, la situazione reale.

La prima cosa da fare è suddividere la nostra popolazione in tre compartimenti:

  • Suscettibili, ossia tutte le persone ancora sane che, però, potrebbero essere infettate;
  • Infetti, ossia tutte le persone che hanno contratto il virus e possono trasmetterlo;
  • Rimossi, ossia tutte le persone rimosse dalla circolazione, nella buona (guariti o isolati) o nella cattiva (morti) sorte.

Come vedete, le iniziali dei tre compartimenti vanno a formare il nome del modello. Un’assunzione alla base di questo schema è che si tratta di un modello epidemico, non endemico (sebbene ne esista anche una versione di questo tipo).

Qual è la differenza?

Nei modelli epidemici, il contagio si espande rapidamente e si possono trascurare nei calcoli i termini che descrivono possibili nascite o morti nel periodo considerato.

Invece, nel caso di modelli endemici, la malattia permane su tempi lunghi in una popolazione, motivo per il quale diventano importanti i termini di nascite e morti.

Schema del modello SIR
[per gentile concessione dell’autore)

I compartimenti descritti non sono a sè stanti: le persone suscettibili possono passare a infette e, da qui, a rimosse. Cerchiamo di quantificare il tutto.

La prima cosa che ci chiediamo è: come varia il numero delle persone suscettibili?

Ovviamente, visto che non consideriamo persone nuove in entrata in questo compartimento (nascite trascurabili), il numero di persone qui sarà destinato a calare se passano a infette.

Ora, di quanto cala il numero di persone suscettibili?

Ci possiamo aspettare che maggiore è il numero di persone suscettibili S, maggiore sarà il numero di possibili persone che potranno essere infettate. Analogamente, maggiore è il numero di infetti presenti nel compartimento I, maggiore sarà il numero di suscettibili che passano a infetti.

Quanto detto a parole si traduce quindi in:

\frac{dS}{dt}=-\beta S I

dove β è un parametro che descrive la probabilità di venire infettati quando si incontra una persona infetta.

Domanda numero 2: come varia il numero di infetti in una popolazione?

Le persone che abbiamo appena tolto dal compartimento dei suscettibili vanno a finire in quello degli infetti, quindi nella nostra equazione avremo un termine esattamente uguale al precedente, con il segno opposto, in quanto si vanno ad aggiungere al serbatoio I.

Ma non è finita qui.

Infatti, dopo un certo periodo di tempo un infetto guarisce (evvai!) o muore (sigh!).

Quindi un certo numero di infetti passerà al compartimento dei rimossi.

Di nuovo, cerchiamo di quantificare questo numero.

Possiamo immaginare che il numero di rimossi sia direttamente proporzionale al numero di infetti. Infatti, più infetti avremo, più rimossi avremo.

In termini matematici esprimiamo questo con:

\frac{dI}{dt} = \beta S I -\gamma I

dove γ è il tasso di rimozione di infetti (si può vedere anche in questo modo: se la malattia dura un periodo medio 1/γ, più il periodo di malattia è lungo, ossia γ è piccolo, più lentamente gli infetti passeranno al compartimento R).

Infine, ultima domanda: come varia il numero dei rimossi?

Il numero di persone qui dentro sarà esattamente uguale al numero di persone che vengono tolte dal compartimento I, quindi:

\frac{dR}{dt} = \gamma I

Bene, ora che abbiamo queste belle equazioni, cosa vogliamo fare?

L’idea sarebbe quella di vedere se possiamo concretamente fare qualcosa per ridurre il numero di infetti il più possibile. 

In particolare, vorremmo che il numero di infetti scendesse sempre di più.

Prendiamo quindi l’equazione che descrive il numero di infetti, e riscriviamola in questo modo:

\frac{dI}{dt} = I(\beta S-\gamma)

Se vogliamo avere un numero di infetti calante, quello che dobbiamo sperare è che il termine tra parentesi sia negativo.

Affinché questo avvenga, dovrà essere

\beta S-\gamma < 0 \Rightarrow S < \frac{\gamma}{\beta} \equiv \sigma

dove definiamo σ la soglia.

Passiamo al concreto: cosa possiamo fare per diminuire gli infetti?

Abbiamo un paio di possibilità:

  1. Diminuzione di S: il numero di persone suscettibili può essere ridotto vaccinandosi; solo in questo modo non si rischierà di finire in questo compartimento
  2. Diminuzione di β: ricordiamo che β è la probabilità di contrarre il virus incontrando una persona infetta. Ovviamente, più persone infette si incontrano, più si rischia di contrarre il virus.

E come facciamo per evitare ciò? Ora arriviamo al punto: SI RIMANE A CASA il più possibile, si evitano i contatti.

E per quanto riguarda γ?

Per il nostro obiettivo vorremmo che γ aumentasse. Ricordiamo che questo parametro è l’inverso del tempo medio della malattia (quindi, più è grande, minore è il tempo della malattia).

Per aumentare questo forse potrebbero essere somministrati dei medicinali, ma non sempre questi esistono o sono efficaci.

Il nostro viaggio nella matematica di un’epidemia termina qui, con questa dimostrazione matematica del perché i vaccini sono importanti e del motivo per cui, in assenza di questi, si deve isolarsi il più possibile.

Andrea Marangoni
Laurea Magistrale in Fisica con una tesi sui dischi circumstellari presso l’Università degli Studi di Padova. Appassionato di scienza fin da bambino, tifoso della Juventus, nel tempo libero mi piace dedicarmi all’attività fisica. “I’m just a mad man in a box”.

Fonti:

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