Matematica di un’epidemia – parte 1
[di mattthewafflecat da Pixabay]

In questi frenetici giorni in cui i programmi televisivi parlano h 24 del Coronavirus vi sarà probabilmente capitato di sentire parlare di epidemiologia. Questa è una branca della medicina strettamente legata alla matematica e alla statistica, che studia l’insorgenza e la diffusione delle malattie.

Quello che mi piacerebbe fare in questo e nel prossimo articolo è tentare di spiegarvi come i modelli matematici possano descrivere un’epidemia.

Premetto che non c’è un unico modello, ne esistono diversi, ognuno con le sue particolarità e il suo grado di precisione, adatti magari a contesti differenti. Quello che andrò a descrivervi nel prossimo articolo è il modello SIR. Tenete a mente questo nome… ci ritorneremo.

Prima di passare a questo modello, devo però darvi una breve introduzione agli strumenti matematici che utilizzeremo, ossia derivate ed equazioni differenziali.

Non intendo ovviamente entrare nei dettagli, ma solamente descrivere a grandi linee cosa essi siano.

Iniziamo quindi a cercare di capire che cosa sia la derivata di una funzione con un esempio fisico.

Ma, prima ancora… che cos’é una funzione?

La definizione che vi darò NON è la corretta e rigorosa definizione matematica, ma è quel tanto che ci serve per andare avanti nel nostro scopo.

Possiamo vedere una funzione come una relazione tra due quantità, o tra due variabili. Tipicamente, si hanno espressioni del tipo

y=f(x) =3x+1

dove x e y sono le nostre variabili, con x detta variabile indipendente e y variabile dipendente.

Assegnato un valore a piacere a x, y assume di conseguenza il valore assegnato dall’espressione.


Figura 1: Dal punto di vista geometrico, la derivata di una funzione è la pendenza della tangente (retta nera) alla funzione in quel punto. Questa descrive localmente l’andamento e la variazione della funzione [Immagine dell’autore]

Passiamo ora all’esempio fisico con il quale cercherò di darvi un’idea del concetto di derivata.

Nella curva rossa del grafico è rappresentato l’andamento della velocità di un’auto (asse verticale) in funzione del tempo (asse orizzontale).

Abbiamo quindi la velocità come funzione del tempo, ossia v=v(t) (tratto rosso nel grafico).

La macchina parte da ferma, poi accelera e raggiunge una certa velocità (primo tratto crescente nel grafico).

A un certo punto, incontra un semaforo rosso, inizia a decelerare e si ferma (tratto decrescente nel grafico).

Allo scattare del semaforo verde, l’auto riparte, aumentando la sua velocità… (secondo tratto crescente nel grafico).
Supponiamo di voler calcolare l’accelerazione media tra l’istante di partenza e l’istante in cui l’auto si ferma al semaforo

\bar{a}_{m}=\frac{\Delta\bar{v}}{\Delta t}=\frac{\bar{v}_f-\bar{v}_i}{t_f-t_i}

Qui la velocità finale è uguale alla velocità iniziale, che è zero. Quindi otteniamo un’accelerazione media nulla.

Però noi sappiamo che la macchina ha prima accelerato e poi decelerato. 

Ci rendiamo conto, allora, di quanta informazione si perda utilizzando questo tipo di approccio grossolano.

Per ottenere un’informazione più precisa, quello che si fa è utilizzare l’accelerazione istantanea.

Consideriamo quindi un intervallo di tempo molto, molto piccolo (infinitesimo, Δt → 0) e ci calcoliamo l’accelerazione intorno a quell’istante. Passiamo quindi da un’informazione globale a un’informazione locale, puntuale.
Dal punto di vista matematico, se scelgo t come istante nel quale calcolare l’accelerazione istantanea, avrò:

\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\bar{v}(t+\Delta t)-\bar{v}(t)}{\Delta t}

Questa espressione significa che vado a verificare di quanto varia la velocità in un intervallo di tempo piccolissimo (Δt→0).

L’operatore di limite (nella formula lim) consente di andare a studiare espressioni in cui il denominatore si avvicina a un punto critico (sappiamo che non si può dividere per zero, vero?)

L’accelerazione scritta in questo modo è appunto la definizione di derivata, in questo caso è la derivata della funzione velocità. Dal punto di vista geometrico, essa è la pendenza della retta tangente alla curva nel punto in cui si calcola (retta nera).

Ma se sono interessato all’accelerazione in ogni punto, devo calcolarmi questa espressione punto per punto?

Fortunatamente l’Analisi Matematica mette a disposizione dei risultati e delle tecniche standard, con le quali possiamo facilmente ottenere le derivate di tutte le funzioni (derivabili).

Ora che a grandi linee sapete cos’è la derivata di una funzione, possiamo passare allo step successivo: le equazioni differenziali.

Molti di voi, se non tutti, sapranno cos’è un’equazione.

Un’equazione è un’uguaglianza tra espressioni matematiche in cui compaiono delle incognite. 

L’uguaglianza risulta vera solo per certi valori di queste incognite.

Ad esempio, l’equazione

x+3=0

è verificata se la variabile x assume il valore -3.

In un’equazione differenziale l’incognita è una funzione e compaiono tra i termini dell’equazione anche le derivate della funzione stessa.

I metodi di risoluzione sono più complicati rispetto alle equazioni ordinarie ma, anche qui, esistono alcune tecniche standard (in un numero limitato di casi).

Un semplice esempio di equazione differenziale è

\frac{df(x)}{dx}=0

la cui soluzione è f(x) = c, con c un numero costante. Perché?

Perché in questo caso l’equazione ci sta chiedendo di trovare quali sono le funzioni il cui valore non varia se variamo x (che sono appunto le funzioni costanti).

Ribadisco che con questo articolo non pretendo in alcun modo insegnarvi a calcolare derivate e risolvere equazioni differenziali, ma voglio solamente darvi un’idea di cosa esse siano.

Questo perché questi strumenti saranno alla base del prossimo articolo sulla Matematica di un’epidemia, e quindi volevo spiegarvi un attimo i simboli che incontrerete.

Ora che avete visto a grandi linee gli strumenti che utilizzeremo, vi lascio con un po’ di suspense e ci vediamo alla prossima puntata.

Andrea Marangoni

Laurea Magistrale in Fisica con una tesi sui dischi circumstellari presso l’Università degli Studi di Padova. Appassionato di scienza fin da bambino, tifoso della Juventus, nel tempo libero mi piace dedicarmi all’attività fisica. “I’m just a mad man in a box”.

Fonti:

  • G. De Marco, “Analisi Uno”, Decibel – Zanichelli editore

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