Il teorema della fisica teorica
Emmy Noether [da Wikipedia]

Se un giorno vi capitasse di entrare in un dipartimento di Fisica e decideste, sprezzanti del pericolo, di avventurarvi nei corridoi popolati dai Fisici Teorici (e da lavagne con astrusi simboli e tonnellate di carta), probabilmente una delle parole che sentireste pronunciare più di frequente è “simmetria”. Per evitare di essere colti alla sprovvista, vediamo di cosa si tratta.

Una simmetria è una trasformazione invertibile su un insieme che ne lascia invariate alcune proprietà. Trasformazione invertibile vuol dire che, se ad esempio consideriamo una rotazione di 30° come trasformazione, dobbiamo essere in grado di tornare alla situazione di partenza con una rotazione opposta di -30°.

Un triangolo equilatero ha simmetria per rotazioni di 120°, 240° e 360° (il vertice in blu è stato evidenziato solo per far notare che è stata effettuata una rotazione), mentre un cerchio può essere ruotato di qualsiasi angolo e non si notano cambiamenti.
[Per gentile concessione dell’autore]

Proviamo a capire meglio il concetto di simmetria attraverso l’esempio proposto nell’immagine sovrastante.

Prendiamo un triangolo equilatero e ruotiamolo di 120°; non notiamo alcun cambiamento rispetto alla figura di partenza. La stessa cosa avviene ruotando il triangolo equilatero di 240° e, ovviamente, di 360° (lo abbiamo riportato esattamente nella posizione originale). 

Però, se effettuiamo una rotazione con un angolo differente da questi, per esempio 60°, ci accorgiamo che il triangolo ha subito una trasformazione, lo vediamo “ruotato”.

Quindi, essendo il triangolo equilatero simmetrico solamente per rotazione di 120°, 240° e 360°, si dice che ha una simmetria discreta.Prendiamo ora una circonferenza.

Possiamo eseguire una rotazione di un angolo qualsiasi attorno al suo centro e non notare mai alcun cambiamento; essendo questa simmetrica per qualsiasi angolo di rotazione, si dice che ha una simmetria continua.
Ovviamente le rotazioni non sono le sole simmetrie possibili, ne esistono molte altre, come le traslazioni, le riflessioni e, passando alla fisica, le simmetrie per inversioni temporali, le coniugazioni di carica, di parità, etc.

Anche noi siamo (approssimativamente) simmetrici.

Se vi tagliaste a metà lungo la linea dalla testa ai piedi (NON FATELO) notereste una (quasi) simmetria per riflessione: avete infatti un braccio per parte, una gamba per parte, un occhio per parte… (eccetto il cuore, che è uno solo; in questo caso i Time Lords sono più simmetrici)

Ma eravamo partiti dalla Fisica e ora lì ritorniamo.

I fisici teorici sono soliti scrivere lunghe espressioni, chiamate Lagrangiane, che contengono tutte le informazioni necessarie a descrivere come interagiscono tra loro le diverse particelle. Integrando poi queste espressioni nel tempo (se volete, “sommando” queste espressioni, che assumono valori diversi ad ogni istante, su tutti i tempi) si ottiene l’azione del sistema.

Ebbene, c’è un teorema tanto bello quanto potente, che fa da ponte tra la parte matematica (la simmetria dell’azione) e la parte fisica (grandezze fisiche conservate): è il teorema di Noether.

Emmy Noether fu una fra i più importanti matematici del XX secolo, collaboratrice del famoso matematico David Hilbert.

Ricordo che la prima volta che ho visto questo teorema me ne sono innamorato (ehi, Emmy, mi sto dichiarando!) perché costituisce, a mio parere, uno dei migliori esempi di come matematica e fisica siano intimamente connesse.

Tale teorema afferma che se l’azione presenta una simmetria continua, allora, nei punti in cui questa è verificata, è presente una quantità conservata, che viene chiamata generalmente carica di Noether (la carica elettrica ne è solo un esempio).

Ad esempio, se consideriamo una palla che rimbalza sul pavimento nel vuoto, l’unica fonte di dispersione di energia si ha al contatto con il pavimento. Tuttavia, l’energia totale si conserva tra un rimbalzo e il successivo e in questo intervallo si può applicare il teorema di Noether.

Per comprendere pienamente la potenza di questo teorema bisognerebbe entrare nei dettagli e fare conti. Ma sarò clemente e non vi torturerò.

Vi basti solamente sapere che questo teorema permette di fare le seguenti associazioni tra le tre più importanti simmetrie di un sistema fisico e le corrispondenti grandezze conservate:

Invarianza per traslazioni nel tempo > conservazione dell’energia

Invarianza per traslazioni spaziali > conservazione della quantità di moto

Invarianza per rotazione > conservazione del momento angolare

In particolare, l’invarianza per traslazioni nel tempo implica che se io effettuo un esperimento adesso o tra un’ora, il risultato non cambierà.

Analogamente, l’invarianza per traslazioni spaziali implica che se io eseguo lo stesso esperimento in due punti distinti nello spazio, il risultato sarà invariato.

Se il nostro esperimento consistesse nel misurare il tempo di caduta di una pallina da una certa altezza h, certamente il valore numerico cambierebbe se io facessi l’esperimento sulla Terra o sulla Stazione Spaziale Internazionale. Quello che non si modifica è il legame tra le grandezze fisiche in gioco, la forma delle equazioni.

Forse per alcuni queste cose sono pura teoria, un giochetto da teorici, ma su queste leggi di conservazione si basa la Fisica intera. Tramite queste leggi possiamo spiegare il moto dei gas nei dischi circumstellari, possiamo capire cosa avviene negli enormi acceleratori di particelle al CERN e una miriade di altri fenomeni… Insomma, possiamo capire (o almeno provarci) l’Universo.

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Andrea Marangoni

Laureato in Fisica, sto terminando la laurea magistrale in Fisica ad indirizzo teorico presso l’Università degli Studi di Padova.Appassionato di scienza fin da bambino, tifoso della Juventus, nel tempo libero mi piace dedicarmi all’attività fisica.“I’m just a mad man in a box”.

Fonti di approfondimento:

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