Divisibile per sette

È recente la notizia di Chika Ofili, il ragazzo di dodici anni che ha scoperto un criterio di divisibilità per il numero sette[1, 2].

Viene naturale porsi qualche domanda: cos’è un criterio di divisibilità?
E davvero non ne esisteva nessuno per il numero sette?

[di Pixabay da Pexels]

Iniziamo dalla prima domanda.
Un criterio di divisibilità è una regola – o un insieme di esse – che si possono usare per verificare se un numero ne divide un altro.
Ad esempio, 2 divide 10 perché, se svolgiamo la divisione come ci è stata insegnata fin dalle elementari, non otteniamo nessun resto.

A volte, non siamo interessati a conoscere il risultato della divisione, ma siamo interessati solo a sapere se possiamo svolgerla senza ottenere alcun resto.
Quando desideriamo sapere se un numero è primo[3] vogliamo controllare che nessuno dei numeri più piccoli di lui lo divida esattamente.
Quindi, avere un criterio di divisibilità rende il lavoro più veloce.

Alcuni criteri di divisibilità intuitivi sono, ad esempio:

  • un numero è divisibile per 2 se la sua ultima cifra lo è;
  • un numero è divisibile per dieci se l’ultima cifra è 0;
  • un numero è divisibile per 5 se l’ultima cifra è 5 o 0.

Alcuni criteri meno conosciuti sono, invece:

  • un numero è divisibile per 3 se la somma delle cifre lo è;
  • un numero è divisibile per 4 se il numero composto dalle ultime due cifre lo è.
  • Molti criteri sono invece assai meno noti, anche perché richiedono spesso più passaggi per arrivare ad una risposta[4].

Passiamo ora alla seconda domanda.
Il criterio della divisibilità per sette in realtà già esisteva, anche se era formulato in maniera leggermente diversa.
Partendo da un numero n, consideriamo l’ultima cifra p, ed il numero ottenuto dalle rimanenti cifre q, in modo da scrivere n come n = 10 q + p. Il “criterio di Chika” ci dice che se q + 5 p è 0 o è divisibile per 7, allora anche n lo è.
Il “vecchio” criterio, invece, ci dice che se q – 2 p è 0 o è divisibile per 7, allora anche n lo è.

Il fatto è che questi due criteri sono equivalenti.
Infatti, se prendiamo la differenza tra le due espressioni otteniamo:

  (q + 5 p) – (q – 2 p) = 7 p

quindi la loro differenza è un multiplo di 7, da cui l’equivalenza!

In conclusione, è sbagliato dire che questo ragazzo ha scoperto un criterio nuovo? Diciamo che dipende da cosa intendiamo con “nuovo”: poiché la formulazione del criterio segue dall’altra in un solo passaggio, personalmente credo sia sbagliato dire che si tratti di una scoperta.

Resta comunque ammirevole il fatto che un giovane di dodici anni l’abbia messa a punto da solo!

Inoltre, la formulazione presentata dal ragazzo assicura di non incappare in numeri negativi, poiché si svolgono solo somme e moltiplicazioni tra numeri positivi. Questo non è vero per la “vecchia” formulazione.
Ad esempio, consideriamo n = 49. Verificarne la divisibilità col criterio originale ci porta ad ottenere:

  4 – 2 x 9 = -14.

-14 è un multiplo di sette, ma è negativo! Quindi, mia opinione personale, dal punto di vista della rigorosità le due formulazioni sono equivalenti, ma il “criterio di Chika” ha una bellezza maggiore grazie a questa piccola – ma inutile allo scopo – proprietà.

Ora, per gli interessati, ecco la dimostrazione del criterio di Chika.

Sia n = 10 q + p, poiché, per ipotesi, il numero q + 5 p è divisibile per 7, abbiamo che esiste un numero l tale che:

  q + 5 p = 7 l

da cui:

  q = 7 l – 5 p.

Quindi n può essere scritto come:

  n = 10 q + p = 70 l – 50 p + p = 70 l – 49 p = 7 (10 l – 7 p).

Quindi n è divisibile per 7.

C.v.d.

Michele Ginesi
Laureato in Matematica nel 2017 presso l’Università di Verona. Attualmente studente di Dottorato presso la stessa Università. Mi piace vedere l’aspetto matematico delle mie passioni, dalla musica alla giocoleria.

Bibliografia:

Lascia un commento

Chiudi il menu