L’impercettibile tocco della morte

“La teoria della probabilità non è in fondo che il buon senso ridotto a calcolo”

Così definisce la probabilità Pierre Simon Laplace, matematico, fisico, astronomo e nobile francese del fine settecento e inizi Ottocento.

Da questa citazione è possibile evincere lo stretto legame che intercorre tra la teoria della probabilità e ciò che ci circonda. È cioè possibile modellizzare situazioni comuni attraverso dei modelli statistici che vengono definiti distribuzioni di probabilità e sono chiamate anche pdf, ovvero probability density function

La distribuzione su cui vogliamo focalizzarci è quella di Poisson, caso limite di un’altra distribuzione: la distribuzione binomiale

Per descrivere brevemente la distribuzione binomiale consideriamo N esperimenti indipendenti (definiti prove di Bernoulli) con esito di successo (S) o fallimento (F), con ciascuna prova con probabilità di successo p e di fallimento (1-p) dove 1 è la probabilità totale e con n successi (0<n<N). La probabilità di una certa sequenza di successi o fallimenti, ad esempio SSFSF è data dal prodotto delle singole probabilità e cioè: 

p(primo S) x p(secondo S) x (1-p)(primo F) x p(terzo S) x (1-p) (ultimo fallimento) 

che può essere generalizzata in:

dove, come detto prima, n è il numero di successi e N-n è il numero di fallimenti. Se ammettiamo che l’ordine in cui abbiamo effettuato le prove non conti, il calcolo combinatorio ci suggerisce che abbiamo:

modi per ottenere n successi in N tentativi, dove il simbolo “!” si denomina fattoriale ed equivale a : N*(N-1)*(N-2)*(N-3)*… (ad esempio : 3!=3*2*1).
Mettendo tutto insieme, possiamo concludere che la distribuzione
binomiale è descritta da:

La probabilità di ottenere n successi con probabilità p in N prove. Di questa distribuzione è possibile determinare il  valor medio. 
Un esempio pratico che segue la distribuzione binomiale può essere il lancio di un dado. 

La distribuzione di Poisson è una distribuzione binomiale in cui il numero di prove N tende all’infinito e la probabilità p di successo di ciascuna prova è molto piccola, tendente a zero. Dunque da queste considerazioni si può dedurre matematicamente che il valore medio di una distribuzione di Poisson è costante (ν) . Per questo motivo la distribuzione di Poisson è la pdf che descrive i fenomeni caratterizzati da un numero di eventi discreti e rari. La sua espressione matematica è la seguente:

dove n è il numero di successi come definito nel caso precedente. 

Dopo tutti questi barbosi tecnicismi e considerazioni matematiche, cerchiamo di rendere più chiara e avvincente la spiegazione con un esempio che definirei leggermente macabro e brutale, ma efficace nel suo intento chiarificatore.

L’esempio è tratto da uno studio sulla distribuzione di Poisson del 1898, di un economista russo.
Il nome dello studio e del suo autore li cito per completezza, ma ammetto che siano  leggermente difficoltosi: “Das Gesetz der kleinen Zahlen” (tradotto “La legge dei piccoli numeri”) di Vladislav Iosifovič Bortkevič.

[di Freepics4you da Pixabay]

L’evento discreto e raro che viene considerato riguarda i soldati prussiani uccisi da un colpo di zoccolo di cavallo in vent’anni di guerra per dieci reggimenti diversi. 

In vent’anni di guerra i decessi in totale furono 122, dunque è possibile calcolare il numero morti medio per anno e per reggimento :

Supponiamo ora di modellizzare questo fenomeno con la distribuzione di Poisson, dato che il numero di casi è grande, ma con probabilità per ogni singolo evento piccola. 
Calcoliamo, perciò, la probabilità di avere 0,1,2,3,4 e 5+  decessi per corpo d’armata ed anno utilizzando la formula sopracitata, dove = 0.610 e n va da 0 a 5+:

Moltiplicando le diverse probabilità per il numero di reggimenti (10) e per gli anni della guerra (20) è possibile ottenere il numero di morti aspettati e successivamente effettuare un confronto con quelli davvero osservati: 

Dal confronto si può evincere che il modello riesce a descrivere abbastanza bene l’andamento osservato. 

Concluderei con un’affermazione di Paul Dirac (fisico britannico del ‘900):

Dio è un matematico di primo ordine, che nel costruire l’universo ha utilizzato una matematica molto avanzata”

Martina d’Aloia

Fonti:

  • Taylor, John Robert. Introduzione all’analisi degli errori: lo studio delle incertezze nelle misure fisiche. Zanichelli, 1986.
  • Loreti, Maurizio. “Teoria degli errori e fondamenti di statistica.” Decibel, Zanichelli (2006).

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